TD 4: Produits scalaires

Montrer que si \((e_1,\dots,e_n)\) est une base orthonormée de \(V\), alors pour tout \(u \in V\), \(u = \sum_{i=1}^n (u|e_i)e_i\).

On munit \(\mathbb{R}^3\) de son produit scalaire canonique. On pose \(u_1 = (1, −1, 0)\), \(u_2 = (2, −1, −1)\) et \(u_3 = (1, 2, 1)\). Montrer que \((u_1, u_2, u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et orthonormaliser cette base par le procédé de Gram-Schmid.

On dit qu’une matrice \(M\) est orthogonale si et seulement si \(MM^T = I_n\).

1. Montrer que \(M\) est inversible.
2. Montrer que les colonnes de \(M\) sont orthogonales (pour le produit scalaire canonique).

Soit \(u_1 = (1, −1, 1) , u_2 = (1, 0, 0) et u_3 = (0, 1, 0)\). Montrer que \(\|u_1+u_2+u_3\|^2=\|u_1\|^2+\|u_2\|^2+\|u_3\|^2\). En déduire que la réciproque du théorème de Pythagore est fausse en dimension \(n \geq 3\).

1. Développez \((u+u' | v+v')\) puis \((u+v|u+v)\).
2. On pose \(\phi(u,v) = u_1v_1 − u_1v_3 + u_2v_2 − u_3v_1 + 2u_3v_3\).
   1. Trouver une matrice A telle que \(\phi(u,v) = u^T A v\).
   2. Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur M3,1(R).
3. Est-ce que \(\phi(u,v) = u_1v_1 + u_2v_2 − u_3v_3\) définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^3\)?

Trouver une base orthonormale de \(\mathbb{R}^3\) pour le produit scalaire \(\phi\) de l’exercice précédent.